Математическая энциклопедия - положительный оператор

положительное отображение,1) П. о. в гильбертовом пространстве линейный оператор А, для к-рого соответствующая квадратичная форма ( Ах, х).неотрицательна. П. о. необходимо симметричен и допускает самосопряженное расширение, также являющееся П. о. Самосопряженный оператор Аявляется П. о. тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий: а) А=В*В, где Взамкнутый оператор; б) А=В ², где В - самосопряженный оператор; в) спектр Асодержится в . Совокупность ограниченных П. о. в гильбертовом пространстве образует конус в алгебре всех ограниченных операторов.

2) П. о. в пространстве с конусом отображение векторного пространства Xв себя, сохраняющее выделенный в Xконус К. Интегральные операторы с положительными ядрами в различных функциональных пространствах с выделенными конусами положительных функций являются линейными П. о. При нек-рых дополнительных условиях на геометрию конуса Ки действие П. о. А удается установить существование Асобственных векторов из X(соответствующие собственные значения наз. позитивными, или ведущими, они превосходят абсолютные величины всех остальных собственных значений). Напр., доказано (см. [3]), что если А - вполне непрерывный П. о. с ненулевым спектром, то его спектральный радиус является позитивным собственным значением. Условие компактности можно заменить условиями на поведение резольвенты (см. [4]).

В случае нелинейных П. о. исследуется вопрос о существовании неподвижной точки оператора (т. е. решения уравнения Ах=х).и о возможности нахождения этой точки как предела определенных рекуррентных последователей.

Нек-рые результаты теории П. о. могут быть перенесены на операторы, оставляющие инвариантными выделенные подмножества более общей природы, чем конусы (см. [5]).

3) П: о. в инволютивной алгебре (*-алгебре) линейное отображение *-алгебры А в инволютивную алгебру В, переводящее положительные элементы в положительные. Наиболее изучены П. о. С*-алгебр (являющиеся, поскольку положительные элементы С*-алгебры образуют конус, частным случаем П. о. пространств с конусом). Имеет место неравенство Шварца для П. о. С*-алгебр: , если а=а*. Найдены крайние точки множества унитальных (т. е. сохраняющих единичный элемент) П. о. Изучались вполне непрерывные положительные операторы (в. н. п. о.), то есть линейные отображения , для к-рых положительны все отображения

матричных С*-алгебр М(А).в М(В). Оказалось, что для в. н. п. о. справедлив аналог теоремы о продолжении положительного функционала: в. н. п. о. С*- алгебры Ав нек-рую алгебру Неймана может быть продолжен до в. н. п. о. любой С*-алгебры, содержащей А. Если одна из С*-алгебр А, В коммутативна (и только в этом случае), то всякий П. о. является в. н. п. о.

4) П. о. в банаховом пространстве Е - линейный оператор Атакой, что , где Кположительный конус в Е. Собственный вектор А, лежащий в К, наз. положительным, а соответствующее собственное значение позитивным. Если К - воспроизводящий конус, А - вполне непрерывный положительный оператор и для нек-рого вектора и, не принадлежащего конусу К, натурального ри a>0, то спектральный радиус r А оператора Аявляется позитивным собственным значением А, причем (теорема Крейна Рутмана).

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [2] Sherman S., "Amer. J. Math.", 1951, v. 73, № 1, p. 227-32; [3] Крейн М. Г., Рутман М. А., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 1, с. 3-95; [4] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [5] Красносельский М. А., Соболев А. В., "Докл. АН СССР", 1975, т. 225, № 6, с. 1256-59; [8] Красносельский М. А. [и др.], Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., 1966; [7] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974; М Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, М., 1962.

В. С. Шульман, В. И. Ломоносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985