Математическая энциклопедия - полугруппа нелинейных операторов

однопараметрическое семейство операторов S(t),0t<, определенных и действующих в замкнутом подмножестве Сбанахова пространства X, обладающее свойствами:

1) S(t+t)x= S(t)(S(t)x).при х С, t,t>0;

2) S(Q)x=x для любого х С;

3) при каждом х Сфункция S(t)x(со значениями в X).непрерывна по tна [0, ). Полугруппа S(t).имеет тип w, если

Полугруппа типа 0 наз. сжимающей.

Так же, как и для полугрупп линейных операторов, вводится понятие производящего оператора А 0 полугруппы S(t).

на тех элементах , для к-рых этот предел существует. Если полугруппа сжимающая, то А 0диссипативный оператор. При этом оператор Ав банаховом пространстве Xдиссипативен, если || х-у-l( Ах-Ау)||||х-у|| при . Диссипативный оператор может быть многозначным, тогда в определении под Ах понимается любое его значение на х. Диссипативный оператор наз. m-диссипативным, если lm (I-lА)=Х при l>0. Если S(t) - типа w, то A0-wI диссипативен.

Основная теорема о порождении полугруппы: если оператор А-wI диссипативен и при достаточно малых l>0 образ Im (I-lA) оператора I-lАсодержит D(А), то существует полугруппа SA(t) типа со на такая, что

где , при этом сходимость равномерна на любом конечном промежутке изменения t. (Существование полугруппы SA(t).можно показать, если заменить условие более слабым:

где d - расстояние между множествами.)

С оператором Аможно связать задачу Коши

(*)

Если существует сильное решение задачи (*), т. е. непрерывная на [0, ) функция u(t), абволютно непрерывная на любом компакте из (0, ), принимающая при почти всех t>0 значения в D(A), имеющая при почти всех t>0 сильную производную, удовлетворяющую включению (*), то u(t)=SA(t)x. Любая функция SA(t)хявляется единственным т.