Математическая энциклопедия - полугруппа операторов

семейство операторов {Т} вбанаховом или топологическом векторном пространстве, обладающее тем свойством, что композиция любых двух операторов семейства снова принадлежит семейству. Если операторы Т"занумерованы" элементами нек-рой абстрактной полугруппы и бинарной операции полугруппы отвечает композиция операторов, то полугруппа {Т} наз. представлением полугруппы . Наиболее подробно изучены однопараметрические полугруппы линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве X, дающие представление аддитивной полугруппы всех положительных чисел, т. е. семейства Т(t).со свойством

Из сильной измеримости T(t), t>0, следует, что Т(t) - сильно непрерывная полугруппа, поэтому в дальнейшем только такие и рассматриваются.

Существует число

тип полугруппы. Все функции Т(t)x растут не быстрее экспоненты.

Важной характеристикой является инфинитезимальный оператор полугруппы

определенный на линейном множестве D(А 0) тех элементов х, на к-рых предел существует, и его замыкание А(если оно существует) производящий оператор полугруппы. Множество D( А 0).плотно на подпространстве Х 0, являющемся замыканием объединения всех значений Т(t)x. Если в Х 0 нет ненулевых элементов, на к-рых , то существует производящий оператор А. В дальнейшем всегда предполагается, что Х 0=Х и что из следует х=0.

Наиболее простой класс полугрупп класс С 0 - выделяется условием: при и любом Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы функция ||T(t)|| была ограниченной на каком-нибудь промежутке (0, а]. В этом случае Т(t).имеет производящий оператор А=А 0, для резольвенты R(l, А)=(A-lI)^-1 к-рого выполнено

(1)

где w тип полугруппы. Обратно, если А - замкнутый оператор с плотной в X областью определения, для резольвенты к-рого выполнено (1), то он является производящим оператором нек-рой полугруппы Т(t).класса С 0, причем . Условия (1) выполняются, если (условие Хилле Иосиды). Если при этом w=0, то Т(t) сжатий полугруппа:.

Суммируемая полугруппа та, для к-рой функции ||T(t).|| суммируемы на любом конечном отрезке при всех . Суммируемая полугруппа имеет производящий оператор . Оператор A0 замкнут тогда и только тогда, когда при любом

Для суммируемой полугруппы при Rel>w определено преобразование Лапласа

(2)

дающее линейный ограниченный оператор R(l), обладающий многими свойствами резольвенты.

Для того чтобы замкнутый оператор Ас плотной в Xобластью определения был производящим оператором суммируемой полугруппы T(t), необходимо и достаточно, чтобы для нек-рого w существовала резольвента R(l, А).при Re l>w и выполнялись условия: а) ||R(l, А)|| М,Re l>w; б) существуют такие неотрицательная и непрерывная по совокупности переменных функция , и неотрицательная функция j(t), ограниченная на любом промежутке , что

при w1>w

При этом

Если, дополнительно потребовать, чтобы функция ||T(t)|| была суммируемой на конечных промежутках, то необходимо и достаточно существование такой непрерывной функции j(t) что при w1>w

(3)

(4)

При этом . Выбирая различные функции, удовлетворяющие (3), можно выделять различные подклассы суммируемых полугрупп. Если , то получается класс С 0 и из (4) вытекает (1). Если j(t) , , то из (4) получается условие

Полугруппа со степенными особенностями. Если в предыдущем примере , то в (4) интегралы при n расходятся. В соответствии с этим производящий оператор соответствующих полугрупп может не иметь резольвенты ни при каких l, т. е. иметь спектр, совпадающий со всей комплексной плоскостью. Однако для таких операторов, начиная с нек-рого п, существуют функции Sn(l, А), совпадающие в предыдущих случаях с Rⁿ⁺¹(l, А). Оператор-функция Sn(l, А).наз. резольвентой порядка п, если она аналитична в нек-рой области и при

и из того, что Sn(l, A)x=0 при всех , следует, что x=0. Если , то оператор может иметь единственную резольвенту порядка n, для к-рой имеется максимальная область аналитичности, наз. резольвентным множеством порядка п. Пусть для сильно непрерывной полугруппы Т(t).выполняется неравенство

при . Тогда ее производящий оператор Вимеет резольвенту порядка ппри n>a-1, причем

(5)

Обратно, пусть оператор Вимеет при Re l>0 резольвенту Sn(l, В).порядка n, для к-рой выполнено (5) при n>a-1. Тогда существует единственная полугруппа T(t).с оценкой для производящего оператора Ак-рой Sn(l, A)=Sn(l, В).

Гладкая полугруппа. Если , то функция T(t)xнепрерывно дифференцируема и

Существуют полугруппы класса С 0, для к-рых при функции Т(t)xнедифференцируемы при всех t. Однако для важных классов полугрупп наблюдается явление повышения их гладкости с увеличением t. Если Т(t)x, t>t0, дифференцируемы при любом , то из полугруппового свойства следует, что Т(t)xдважды дифференцируема при t>2t0, трижды при t>3t0 и т.