Математическая энциклопедия - полунаследственное кольцо

слева кольцо, все конечно порожденные левые идеалы к-рого проективны. П. к. являются кольцо целых чисел, кольцо многочленов от одного неизвестного над полем, регулярные кольца в смысле Неймана, наследственные кольца, кольца конечно порожденных свободных идеалов (пол-FI -кольца). Аналогично определяется правое П. к. Левое П. к. не обязано быть правым П. к. Однако локальное левое П. к. оказывается областью целостности и правым П. к. Кольцо матриц над П. к. является II. к. Если Rесть П. к. и , то eRe есть П. к. Конечно порожденный подмодуль проективного модуля над П. к. изоморфен прямой сумме нек-рого множества конечно порожденных левых идеалов основного кольца и, следовательно, проективен. Каждый такой модуль может быть представлен и как прямая сумма модулей, двойственных конечно порожденным правым идеалам основного кольца.

Для коммутативного кольца Rэквивалентны следующие свойства: (1) Rесть П. к.; (2) , где А, В и Спроизвольные идеалы кольца R;(3) полное кольцо частных кольца Rрегулярно в смысле Неймана, и для всякого максимального идеала кольца Rкольцо частных является кольцом нормирования; (4) все 2-порожденные идеалы кольца Rпроективны.

Кольцо многочленов от одного переменного над коммутативным кольцом Rоказывается П. к. в том и только в том случае, когда R регулярно в смысле Неймана.

Лит.:[1] Картан А.,Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 14, М., 1976, с. 57 -190, т. 19, М. 1981, с. 31 134. Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985