Математическая энциклопедия - полупростая алгебраическая группа

-связная линейная алгебраич. группа положительной размерности, содержащая лишь тривиальные разрешимые (или, что равносильно, абелевы) связные замкнутые нормальные подгруппы. Факторгруппа связной неразрешимой линейной алгебраич. группы по радикалу полупроста.

Связная линейная алгебраич. группа Gположительной размерности наз. простой, если она не содержит собственных связных замкнутых нормальных подгрупп. Центр Z(G).простой группы Gконечен, и G/Z(G).проста как абстрактная группа. Алгебраич. группа Gполупроста тогда и только тогда, когда Gразлагается в произведение простых связных замкнутых нормальных подгрупп.

В случае, когда основное поле есть поле С комплексных чисел, П. а. г.это не что иное как полупростая группа Ли над С. Оказывается, что классификация П. а. г. над произвольным алгебраически замкнутым полем Каналогична случаю К=С, т. е. что П. а. г. определяется с точностью до изоморфизма своей корневой системой и нек-рой подрешеткой в решетке весов, содержащей все корни. Точнее, пусть Т - максимальный тор в П. а. г. G, Х (Т) - группа характеров тора Т, рассматриваемая как решетка в пространстве . Для любого рационального линейного представления r группы Gгруппа r(Т). является диагонализируемой. Ее собственные значения, являющиеся элементами группы X(Т), наз.. весами представления r. Ненулевые веса присоединенного представления Ad наз. корнями группы G. Оказывается, что система всех корней группы Gявляется приведенной корневой системой в пространстве Е, причем неприводимые компоненты системы S это системы корней простых замкнутых нормальных подгрупп группы G. Далее, , где Q(S) решетка радикальных весов, а для всех } решетка весов корневой системы S. В случае К= С пространство Еестественно отождествляется с вещественным подпространством , где t алгебра Ли тора Т, натянутом на дифференциалы всех характеров, а решетки в t, двойственные к , совпадают (с точностью до множителя 2pi). с (см. Ли полупростая группа).

Основная теорема классификации утверждает, что если G'другая П. а. г., Т' - ее максимальный тор, система корней группы G' и если существует линейное отображение , определяющее изоморфизм корневых систем S и S' и отображающее X(Т).на Х( Т'), то . Кроме того, для любой приведенной корневой системы S и любой решетки L, удовлетворяющей условию , существует такая П. а. г. G, что S есть система ее корней относительно максимального тора Ти L=X(T).

Классифицированы также все изогении (в частности, все автоморфизмы) П. а. г.

Лит.:[1] Стейнберг Р. Г., Лекции о группах Шевал-ле, пер. с англ., М., 1975; [2] Xамфри Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980. А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985