Математическая энциклопедия - переноса уравнения

численные методы решения методы решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих перенос частиц или излучения. Для стационарных задач уравнения имеют вид

(1)

где , единичный вектор, поток частиц в точке х, летящих со скоростью vW;положительные функции описывают взаимодействие частиц с веществом, а f источник. Рассматривают две основные задачи: 1) найти решение уравнения (1) в (выпуклой) области D( х, у, z).такое, что на ее границе Г

(2)

где n внешняя нормаль к Г; 2) найти наибольшее собственное значение l1 и соответствующую собственную функцию задачи (1) (2), в к-рой

(3)

Уравнение (1) содержит шесть независимых переменных; из-за существенной многомерности его сводят к более простым уравнениям. Заменяя в (1), (3) интеграл по v' квадратурной формулой с Nчленами и предполагая изотропность рассеяния, получают систему т. н. многоскоростных уравнений;

(4) где

нулевые моменты, а коэффициенты подучены применением методов усреднения с использованием решений сопряженных задач. Для задачи 2) аналогично получают, что

(5)

Для N=1 получают односкоростное уравнение

(6)

для функции . Уравнение (6) для плоского слоя , когда решение зависит только от одной координаты хи одной угловой переменной , имеет вид

(7)

где . Характеристиками левой части (6) являются все прямые ; вдоль каждой из них уравнение (6) принимает вид

(8)

Если в (6) сделать замену , то оно принимает вид

(9)

Решение уравнения (9) минимизирует квадратичный функционал Владимирова:

(10) где

Пусть краевые задачи записаны в операторной форме

(11)

Характерным свойством задач переноса, используемым в численных алгоритмах, является то, что значение находится по заданному y прямым методом путем интегрирования (8) вдоль характеристик. Учитывая это, из (11) получают т. н. интегральное уравнение Пайерлса

(12) для нулевого момента Sj.

Для решения задач переноса существенное развитие получил метод сферических гармоник (являющийся вариантом метода Галеркина). Приближенное решение ( Р n -приближение) находят в виде

(13)

где неизвестные функции, а сферич. гармоники k-гo порядка. Подставляя (13) в (6), умножая результат на и интегрируя по W, получают систему уравнений с частными производными для определения . В Р 1 приближении система имеет вид

(14)

где . При из (14) получают диффузионное приближение

(15)

где . Это эллиптич. задача, решение к-рой находят, применяя вариационные или сеточные методы.

Для решения одномерных задач развиты аналитич. методы, основанные на разложении решения по обобщенным собственным функциям. Для нахождения значений функционалов от решений сложных многомерных задач применяют Монте-Карло метод.

Широкое распространение получили методы конеч-норазностных аппроксимаций уравнения переноса. Так, используя квадратурную формулу для области D, заменяют интегральное уравнение (12) системой линейных уравнений. В уравнениях (4), (5), (6), (8) для аппроксимации интегрального оператора применяют квадратурные формулы для сферы. Известны Гаусса квадратурные формулы для сферы до 35-го алгебраич. порядка точности. В методе характеристик через каждую точку пространственной сетки проводят семейство характеристик по направлениям, соответствующим узлам квадратуры для сферы, и заменяют дифференциальный оператор Lв (8) разностным. Разностные уравнения Sn -метода получают интегрированием уравнения (6) по сеточной ячейке фазового пространства, предполагая линейность решения в пределах ячейки по независимым переменным. В методе Галеркина решение ищут в виде

(16)

Если jn(x).заданы, то для определения gn(W).получают систему вырожденных интегральных уравнений; если jn (х) финитные функции, то получают метод конечных элементов; если gn(W) - заданные финитные функции и выражение (16) минимизирует функционал (10), то получают так наз. PNJ- уравнения.

Итерационные методы решения разностных задач перелоса обладают своей спецификой; она заключается в том, что сходимость итерационных методов, как правило, замедляется при , а для нахождения следующего приближения используют только часть информации о предыдущем приближении существенно меньшей размерности запоминают и используют лишь значения . В итерационных методах в качестве промежуточной операции (операции К).часто входит решение следующей задачи

(17)

Тогда ошибка удовлетворяет (11) с независящим от Wисточником и невязка тоже не зависит от W. Это свойство позволяет ускорить сходимость итераций. Пусть задана периодич. задача для уравнения (7) с постоянными коэффициентами, четным по m источником и H=2p. Применительно к этой задаче ниже рассмотрены следующие итерационные методы. Для уравнения (7) строится сетка с N узлами по хи Мугловыми направлениями по m. Пусть

Для сходящихся итерационных методов , где . Пусть Ц 0 цена (количество действий) операции К, Ц - цена полной итерации, а D=Ц Ц 0. Для различных методов имеют место следующие соотношения.

1) Простая итерация: ; для нее D=0, q=с.

2) Метод Люстерника: для нек-рых kполагают в простой итерации

,

где наибольшее собственное значение задачи

; тогда при ,

3) Метод оценки итерационных отклонений: , где решение уравнения

тогда

( при ).

4) Метод с балансовыми множителями: , где

для него при

5) Метод средних потоков (метод ребаланса):