Математическая энциклопедия - локально конечная алгебра

алгебра, в к-рой всякая подалгебра с конечным числом образующих имеет конечную размерность над основным полем.

Л. к. а. удобно себе представлять как объединение возрастающей цепочки конечномерных подалгебр. Класс Л. к. а. замкнут относительно взятия гомоморфных образов и перехода к подалгебрам. Если ограничиться рассмотрением ассоциативных алгебр, то расширение Л. к. а. с помощью Л. к. а. снова будет Л. к. а. Поэтому во всякой алгебре сумма локально конечных идеалов представляет собою наибольший локально конечный идеал, содержащий все локально конечные идеалы и наз. локально конечным радикалом.

В ассоциативном случае всякая Л. к. а. является алгебраической. Обратное неверно (см. [6]). Тем не менее алгебраич. алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству, локально конечна. Неизвестно (1982), будет ли локально конечной алгебраич. алгебра с делением. Существует предположение, что конечно определенная алгебраич. алгебра конечномерна. Радикал Джекобсона локально конечной ассоциативной алгебры совпадает с верхним нильрадикалом. Радикал Джекобсона локально конечной йордановой алгебры также является нильидеалом. Всякая альтернативная или специальная йорданова алгебраич. алгебра ограниченного индекса (степени минимальных аннулирующих полиномов всех элементов ограничены в совокупности) над полем характеристики локально конечна. Разрешимая алгебраич. алгебра Ли (внутренние дифференцирования всех элементов алгебраические) локально конечна. Алгебраич. алгебра Ли ограниченного индекса локально конечна.

Лит.:[1] Д ж е к о б с о н Н., Строение колец, пер. с англ.. М., 1961; [2] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [3] Ширшов А. И., "Матем. сб.", 1957, т. 41, № 3, с. 38194; [4] Me Crimmon К., "Ргос. Nat. Acad. Sci. USA", 1969, v. 62, № 3, p. 671-78; [5] Л ю Шаосюэ, "Матем. сб.", 1956, т. 39, № 3, с. 385-96; [6] Голод E.G., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, № 2, с.273-76.

В. Н. Латышев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985