Математическая энциклопедия - локально выпуклая топология

такая (не обязательно отделимая) топология т на действительном или комплексном топологическом векторном пространстве Е, обладающая базисом из выпуклых окрестностей точек пространства Е, что линейные операции в Енепрерывны относительно топологии т. Л. в. т. т на векторном пространстве Еаналитически определяется произвольным семейством преднормкак топология, базис окрестностей нуля к-рой состоит из множеств вида где ппробегает натуральный ряд, a U - семейство конечных пересечений множеств вида такое семейство преднорм наз. порождающим для t. Топология, индуцированная данной Л. в. т. на векторном подпространстве, фактортопология на факторпространстве и топология произведения Л. в. т. суть также Л. в. т. Топология т на топологическом векторном пространстве Етогда и только тогда есть Л. в. т., когда т есть топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах сопряженного пространства Е*.

Пусть Еи __ векторные пространства над или (соответственно ga) - линейное отображение Ев Еа, (соответственно Е a в Е).и ta Л. в. т. на Слабейшая из топологий на Е, для к-рой все отображения fa являются непрерывными отображениями пространства Ев (Е a,ta), наз. пр оективной топологией на Е относительно семейства проективная топология есть Л. в. т. В частности, верхняя грань семейства Л. в. т. на данном векторном пространстве, индуцированная топология на подпространстве и топология произведения

Л. в. т. суть проективные топологии (и потому Л. в. т.). Сильнейшая Л. в. т. на Е, относительно к-рой все отображения являются непрерывными отображениями пространства в пространство Е, наз. индуктивной топологией на Е относительно семейства В частности, фактортопология данной Л. в. т. и топология прямой суммы Л. в. т. являются индуктивной топологией (и потому Л. в. т.). Понятия проективной и индуктивной Л. в. т. позволяют определить операции проективного и индуктивного пределов в категории локально выпуклых пространств и их линейных отображений.

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [3] Канторович Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. А. И. Штерн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985