Математическая энциклопедия - локально выпуклое пространство

отделимое топологическое векторное пространство над полем действительных или комплексных чисел, в к-ром любая окрестность нулевого элемента содержит выпуклую окрестность нулевого элемента; иначе говоря, топологическое векторное пространство Етогда и только тогда есть Л. в. п., когда топология в Еесть отделимая локально выпуклая топология. Примерами Л. в. п. (и одновременно важными в теории и приложениях классами Л. в. п.) являются нормированные пространства, счетно нормированные пространства, Фреше пространства.

Ряд общих свойств Л. в. п. непосредственно следует из соответствующих свойств локально выпуклых топологий; в частности, подпространства и отделимые факторпространства Л. в. п., а также произведения семейств Л. в. п. суть Л. в. п. Пусть Анаправленное вверх множество индексов, семейство Л. в. п. (над одним и тем же полем) с топологиями пусть для любой пары определено непрерывное линейное отображение gab: и пусть Е - подпространство произведения элементы к-рого х= (х a). удовлетворяют соотношениям для всех пространство Еназ. проективным пределом семейства {Еa} относительно отображений {gab} и обозначается lim gabEb;. топология в Еесть проективная топология относительно семейства где fa ограничение на подпространство Епроекции С другой стороны, пусть для любой пары определено непрерывное линейное отображение пусть канонич. вложение пространства Е a. в прямую сумму и Н - подпространство в порожденное образами всех пространств Е a. при отображениях где (а, Р) пробегает все пары в для к-рых Если Нзамкнуто в то Л. в. п. наз. индуктивным пределом семейства Л. в. п. {Еa} относительно отображений {hab} и обозначается lim habEa. Если {Еa} есть семейство подпространств векторного пространства Е, упорядоченное по включению, и топология tb индуцирует ta на Еа при то индуктивный предел семейства {Еa} наз. строгим. Л. в. п. метризуемо в том и только в том случае, когда его топология порождена последовательностью полунорм; Л. в. п. нормируемо тогда и только тогда, когда в нем существует ограниченное открытое множество (теорема Колмогорова). Всякое конечномерное подпространство в Л. в. п. имеет дополнительное замкнутое подпространство. Пополнение Л. в. п. есть Л. в. п., и всякое полное Л. в. п. изоморфно проективному пределу некоторого семейства банаховых пространств. Пространство L(F, E).непрерывных линейных отображений топологического векторного пространства Fв Л. в. п. Еестественно снабжается структурой Л. в. п. (см. также Операторная топология).по данному семейству ограниченных подмножеств пространства F, линейная оболочка объединения к-рых плотна в F:базис окрестностей нуля соответствующей топологии есть семейство множеств где s пробегает семейство а Vпробегает базу окрестностей нуля в Е.

Центральное место и основное содержание теории не только Л. в. п., но и топологических векторных пространств составляет изучение Л. в. п. в терминах его сопряженного пространства. Фундаментом этой теории двойственности для Л.