Математическая энциклопедия - нормальная форма

1) Н. ф. матрицы A матрица Nзаранее определенного специального вида, получаемая из Ас помощью преобразований определенного типа. В зависимости от рассматриваемого типа преобразований, от области K, к к-рой принадлежат коэффициенты А , от вида Аи, наконец, от специфики решаемой задачи (напр., от желания расширять или не расширять Kпри переходе от Ак N, от необходимости определить N по А однозначно пли, наоборот, с нек-рым произволом) рассматриваются и различные Н. ф. Часто вместо термина "Н. ф." употребляют термины "каноническая форма", "канонический вид". К числу классических Н. ф. относятся следующие (ниже через обозначается множество всех матриц из тстрок и пстолбцов с коэффициентами из K).

Нормальная форма Смита. Пусть Kлибо кольцо целых рациональных чисел, либо кольцо многочленов от с коэффициентами из поля F. Матрица наз. эквивалентной матрице , если найдутся такие обратимые матрицы и , что .. Матрица . Вэквивалентна А тогда и только тогда, когда Вможет быть получена из Ас помощью последовательности элементарных строчных и столбцовых преобразований, т. е. преобразований следующих трех типов: а) перестановка строк (столбцов); б) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) с множителем из K;в). умножение строки (столбца) на обратимый элемент кольца K. Для преобразований этого типа справедливо следующее утверждение: всякая матрица эквивалентна матрице вида

где при всех делит при и если , то все положительны, а если , то старшие коэффициенты всех многочленов равны 1. Указанная матрица Nназ. нормальной формой Смита матрицы А. Элементы наз. инвариантными множителями матрицы А, а число rее рангом. Нормальная форма Смита определена по Аоднозначно и может быть найдена следующим образом. Ранг Аравен порядку наименьшего ненулевого минора матрицы А. Пусть ; тогда среди всех миноров порядка матрицы Аимеется хоть один ненулевой. Пусть , наибольший общий делитель всех ненулевых миноров порядка jматрицы А(нормированный условием, что при и что старший коэффициент многочлена j равен 1 при ) и пусть . Тогда Инвариантные множители являются полным набором инвариантов классов эквивалентных матриц: две матрицы из эквивалентны тогда и только тогда, когда у них совпадают ранги и инвариантные множители с равными номерами.

Инвариантные множители раскладываются (единственным способом с точностью до порядка сомножителей) в произведение степеней неприводимых в кольце К элементов (являющихся нек-рыми целыми положительными числами, большими 1, если , и нек-рыми многочленами положительной степени со старшим коэффициентом 1, если ),

где целые неотрицательные числа. Каждый множитель , для к-рого , наз. элементарным делителем матрицы А(над К). Каждый элементарный делитель входит в совокупность всех элементарных делителей матрицы Астолько раз, в разложении скольких инвариантных множителей он встречается. Элементарные делители, в отличие от инвариантных множителей, зависят от того, над каким кольцом Крассматривается А: если нек-рое расширение поля то матрица

имеет, вообще говоря, различные элементарные делители (но одинаковые инвариантные множители) в зависимости от того, рассматривается ли A как элемент или как элемент . Инвариантные множители восстанавливаются по полному набору элементарных делителей и наоборот.

Практический способ нахождения нормальной формы Смита см., напр., в [1].

Указанный основной результат о нормальной форме Смита получен для (см. [71), для (см.[8]). Практически без изменений теория нормальных форм Смита переносится на случай, когда Клюбое кольцо главных идеалов (см. [3], [6]). Нормальная форма Смита имеет важные приложения, напр, на ней по существу основывается структурная теория конечно порожденных модулей над кольцами главных идеалов (см. [3], [6]) и, в частности, теория конечно порожденных абелевых групп и теория жордановой Н. ф. (см. ниже).

Естественная нормальная форма. Пусть Кполе. Две квадратные матрицы и наз. подобными над К, если найдется такая невырожденная матрица Имеется тесная связь между подобием и эквивалентностью: матрицы .подобны тогда и только тогда, когда матрицы , где Еединичная матрица, эквивалентны. Таким образом, для подобия Аи Внеобходимо и достаточно совпадения инвариантных множителей или, что то же,наборов элементарных делителей над у матриц Практический способ нахождения матрицы Сдля подобных матриц Аи Всм. в [1], [4].

Матрица наз. характеристической матрицей матрицы а инвариантные множители наз. инвариантами подобия матрицы А; их пштук. Пусть инварианты подобия матрицы А. Многочлен равен определителю матрицы и наз. характеристическим многочленом матрицы А. Пусть а степень при больше 1.

Тогда справедливо утверждение: матрица Аподобна над Кблочнодиагональной матрице вида

где через для многочлена

обозначена т. н. сопровождающая матрица многочлена

Матрица определена по Аоднозначно и наз. первой естественной Н. ф. матрицы А(см. [1], [2]).

Пусть теперь набор всех элементарных делителей матрицы . Тогда справедливо следующее основное утверждение: матрица Аподобна над Кблочнодиагональной матрице N2, блоки к-рой это сопровождающие матрицы всевозможных элементарных делителей матрицы :

Матрица определена по Алишь с точностью до порядка следования клеток по главной диагонали; она наз. второй естественной Н. ф. матрицы А(см. [1], [2]), а также еефробениусовой, рациональной, канонической и квазиестественной Н. ф. (см. [4]). В отличие от первой естественной Н. ф., вторая естественная Н. ф., вообще говоря, меняется при переходе от поля Кк его расширению.

Жорданова нормальная форма. Пусть К поле, набор всех элементарных делителей матрицы над . Пусть Кобладает тем свойством, что характеристич. многочлен dn матрицы Араскладывается в на линейные множители (так будет, напр., если Кполе комплексных чисел или, более общо, любое алгебраически замкнутое поле). Тогда каждый из многочленов имеет вид для нек-рого , а элементарный делитель соответственно имеет вид . Матрица иа вида где наз. г пперсопровождающей матрицей многочлена f (см. [1]), или жордановой клеткой порядка s с собственным числом а. Справедливо следующее фундаментальное утверждение: матрица Аподобна над Кблочнодиагональной матрице блоки к-рой это гиперсопровождающие матрицы всевозможных элементарных делителей матрицы

Матрица J определена лишь с точностью до порядка следования клеток на главной диагонали; она является жордановой матрицей и наз. жордановой Н. ф. матрицы А. Если Кне обладает указанным выше свойством, то Анельзя привести над Кк жордановой Н. ф. (но можно над нек-рым конечным расширением К). О так наз. обобщенной жордановой Н. ф., приведение к к-рой возможно уже над любым полем К, см. [4]. Помимо различных теорий Н. ф. для произвольных матриц возможны соответствующие теории и для матриц какого-либо специального вида. Классическими примерами являются теории Н. ф. симметрия, и косо-симметрич. матриц. А именно, пусть Кполе. Две матрицы наз. конгруэнтными (см. [1]), если найдется такая невырожденная матрица что Н. ф. относительно отношения конгруэнтности наиболее исследованы для классов симметрич. и кососимметрич. матриц. Пусть и Акососимметрич. матрица, т. е. . Тогда Аконгруэнтна однозначно определенной матрице H вида

к-рая может рассматриваться как Н. ф. Аотносительно отношения конгруэнтности. Если же Асимметрич. матрица, т. е. то она конгруэнтна матрице Dвида

где при всех i. Число r равно рангу Аи определено однозначно, а дальнейшее уточнение выбора элементов ei зависит от свойств поля К. Так, если Калгебраически замкнуто, то можно считать, что если Кполе действительных чисел, то можно считать, что для нек-рого р. Этими свойствами Dуже определена однозначно и может рассматриваться как Н. ф. Аотносительно отношения конгруэнтности. О Н. ф. симметрич. матриц для ряда других полей, а также об эрмитовых аналогах этой теории см. [6], [10] и ст. Квадратичная ферма.

Объединяющим обстоятельством в рассмотренных (а также и других) теориях Н. ф. является то, что допустимые преобразования над рассматриваемым множеством матриц определяются действием нек-рой группы, так что классы матриц, переводимых друг в друга с помощью этих преобразований, орбиты этой группы, а указание Н. ф. есть выделение в каждой орбите нек-рого канонич. представителя. Так, классы эквивалентных матриц орбиты группы (где группы обратимых квадратных матриц порядка sс коэффициентами из К), действующей на по правилу где . Классы подобных матриц это орбиты группы на действующей по правилу:

Классы конгруэнтных симметрич. или кососимметрич. матриц это орбиты группы GLn(K)на множестве всех симметрич. или кососимметрич. матриц порядка п, действующей по правилу где С этой точки зрения каждая теория Н. ф. является конкретным примером решения части общей задачи орбитального разложения для действия нек-рой группы преобразований.

Лит.:[1] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., М., 1972; [2] Ланкастер П., Теория матриц, пер. с англ., М., 1978; [3] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., М., 1975: [5] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [6] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [7] Smith H. J., The Collected Mathematical Paper, v. 1, Oxf., 1894, p. 367-409; [8] Frоbenius G., "J. reine und angew. Math.", 1879, Bd 86, S. 146-208; [9] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; [10] Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. с франц., М., 1972.

В. Л. Попов.

2) Н. ф. оператора представление с точностью до изоморфизма самосопряженного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве , в виде ортогональной суммы операторов умножения на независимую переменную.

Пусть, сначала, Ациклический оператор; это означает, что существует элемент такой, что любой элемент однозначйо представим в виде нек-рая функция такая, что

здесь спектральная функция оператора А. Пусть пространство функций, суммируемых с квадратом на с весом и оператор умножения на независимую переменную с областью определения

Тогда операторы Аи Кизоморфны,, т. е. существует изоморфное и изометрич. отображение такое, что

Пусть, теперь, А - произвольный самосопряженный оператор. Тогда Нможно разложить в ортогональную сумму инвариантных подпространств , на каждом из к-рых Аиндуцирует циклич. операторы , так что Если на задать оператор то

Оператор Кназ. нормальной формой, пли каноническим представлением, оператора А. Теорема о канонич. представлении распространяется на случай произвольных нормальных операторов.

Лит.:[l] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965; [2] Ахиезер Н. И., Глазпан И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966.

В. И. Соболев.

3) Н. ф. оператора представление оператора А, действующего в Фока пространстве, построенном над нек-рым пространством где пространство с мерой, в виде суммы

где операторнозначные обобщенные функции, порождающие семейства операторов уничтожения и рождения

В выражении (1) в каждом слагаемом множители a(yj), j = 1, ..., т, стоят правее всех множителей а*( х i), i=1,..., п, функции (возможно обобщенные) К п , т( х 1 , ..., х п ; y1, ..., у т )от двух наборов переменных ( х 1 , ...,х п)М ⁿ, ( у 1 ,..., у т )М ^т, n, m=0, 1,2, ..., в случае симметричного (бозонного) пространства Фока симметричны по переменным каждого из наборов в отдельности, а в случае антисимметричного (фермионного) пространства Фока антисимметричны по этим переменным.

Для любого ограниченного оператора Анормальная форма существует и единственна.

Представление (1) можно переписать в виде, непосредственно содержащем операторы уничтожения и рождения:

где нек-рый ортонормированный базис в , и суммирование в (2) происходит

по всем парам конечных наборов элементов этого базиса.

В случае произвольного (сепарабельного) гильбертова пространства НН. ф. оператора А, действующего в пространстве Фока Г (H), построенном над H, определяется при фиксированном базисе в Нс помощью выражения (2), где семейства операторов уничтожения и рождения, действующих в Г (H).

Лит.:[1] Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, М., 1965.

Р. А. Миплос.

4) Н. ф. рекурсивной функции способ задания n-местной рекурсивной функции j в виде

где f есть (n+1)-местная примитивно рекурсивная функция, gодноместная примитивно рекурсивная функция,результат применения наименьшего числа оператора к функции f. Теорема Клини о Н. ф. утверждает: существует такая примитивно рекурсивная функция g, что каждая рекурсивная функция представима в виде (*) с подходящей функцией f, зависящей от , т. е.

Теорема о Н. ф. является одной из важнейших теорем в теории рекурсивных функций.

А. А. Марков [2] получил характеристику тех функций g, к-рые могут использоваться в теореме о Н. ф. в представлении (*). Функция gтогда и только тогда может использоваться в качестве функции, существование к-рой утверждается в теореме о Н. ф., когда уравнение g(x)= ппри любом пимеет бесконечно много решений. Такие функции наз. функциями большого размаха.

Лит.:[l] Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции, М., 1965; [2] Марков А. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1949, т. 13, № 5, с. 417-24.

В. Е. Плиско.

5) Н. ф. системы дифференциальных уравнений

вблизи инвариантного многообразия Мтакая формальная система

к-рая получается из (1) обратимой формальной заменой координат

и в к-рой ряды Тейлора Фурье yi содержат только резонансные члены. Впервые Н. ф. для одного случая встречается в диссертации А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [1]). Посредством Н. ф. (2) нек-рые системы (1) интегрируются, многие исследуются на устойчивость и интегрируются приближенно, для систем (1) отыскиваются периодич. решения и семейства условно перио-дич. решений, изучаются их бифуркации.