Математическая энциклопедия - локальная дифференциальная геометрия

часть дифференциальной геометрии, изучающая свойства геометрич. образов, в частности линий и поверхностей, "в малом". Иными словами, строение геометрич. образа изучается в нек-рой малой окрестности произвольной его точки.

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Е ³ задана кривая своим уравнением

Изучение этой кривой сводится к нахождению величин, инвариантных относительно группы движений пространства Е ³. Радиус-вектор r точки Мкривой не является инвариантным, но его производные

инвариантны. Дифференциальной окрестностью n-го порядка точки Мкривой g наз. совокупность всех понятий и свойств, связанных с кривой, к-рые выражаются через первые пвекторов последовательности (*). Так, дифференциальной окрестности 1-го порядка принадлежат понятия касательной к кривой и ее нормальной плоскости. Дифференциальной окрестности 2-го порядка принадлежат понятия кривизны, соприкасающейся плоскости, трехгранника Френе, соприкасающейся окружности кривой. Понятие кручения кривой принадлежит дифференциальной окрестности 3-го порядка. Кривизна и кручение кривой образуют полную систему ее инвариантов в том смысле, что любой инвариант кривой есть функция кривизны и кручения и их производных любых порядков. Аналогично строится локальная теория поверхностей пространства Е ³. Локальная теория кривых и поверхностей пространства Е ³ - это наиболее старая часть Л. д. г., созданная в основном в 18-19 вв. Уже в 19 в. начали появляться различные обобщения этой теории. Одно из таких обобщений связано с понятием однородного пространства. В произвольном дифференциально-геометрическом однородном пространстве G/H можно строить локальную теорию кривых и поверхностей различных размерностей аналогично тому, как это указано выше для пространства Е ³, а именно, как теорию инвариантов основной группы G. В этом направлении наибольшее развитие получили аффинная дифференциальная геометрия и проективная дифференциальная геометрия.

Обобщение понятия первой квадратичной формы поверхности пространства Е ³ привело к теории римановых пространств. Локальная теория римановых пространств возникла еще в сер. 19 в. и продолжает развиваться, находя многочисленные приложения.

Понятие параллельного перенесения вектора вдоль кривой на поверхности пространства привело к теории пространств аффинной связности. В свою очередь это явилось началом развития общей теории сцязностей.

Лит.:[1] Ф а в а р Ж., Курс локальной дифференциальной геометрии, пер. с франц., М., 1960. А. С. Феденко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985