Математическая энциклопедия - локально компактное тело

множество К, наделенное алгебраич. структурой тела и локально контактной топологией. При этом требуется, чтобы алгобраич. операции, т. е. сложение, умножение, переход к противоположному и обратному элементам (последний определен только на множестве ненулевых элементов ), были непрерывны в заданной топологии. Так как любое тело локально компактно относительно дискретной топологии, предполагается, что топология тела А" не дискретна.

Изучение Л. к. т. основано на существовании меры Хаара в локально компактной группе К + (аддитивной группе тела). Пусть нек-рая мера Хаара на К + и нек-рый компакт в Кположительной меры. Тогда формула

определяет гомоморфизм (модуль) мультипликативной группы К* в мультипликативную группу действительных положительных чисел. По определению полагают modK(0)=0.

Функция "модуль" удовлетворяет неравенству

с нек-рой константой А>0. Если это неравенство выполняется для А=1, то тело Кназ. неархимедовым, или ультраметрическим. В противном случае Кназ. архимедовым телом. Тело Кархимедово тогда и только тогда, когда оно связно. Любое архимедово тело изоморфно либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов.

Ультраметрическое тело Квполне несвязно. Функция "модуль" определяет неархимедову метрику на К. Любое такое тело является расширением конечной степени либо поля Qp рациональных р-адических чисел для нек-рого простого р(в случае, когда Кимеет характеристику 0), либо поля FP(X).формальных степенных рядов над полем Fp из рэлементов (в случае, когда Кимеет характеристику р). Поле Qp (соответственно поле Fp((X))).лежит в центре тела К. В каждом из этих случаев тело Кназ. р-тело м, или р-полем.

Ультраметрическое тело Ксодержит единственное максимальное подкольцо Л, определяемое условием

Это кольцо локально. Его максимальный идеал Ропределяется условием

а все элементы с модулем 1 являются обратимыми в R. Идеал Р - главный, а поле вычетов Rip - конечное поле характеристики р.

В случае, когда р.-тело Кне коммутативно, оно имеет размерность n² над своим центром К 0 и индекс ветвления пнад К 0. Далее, существует промежуточное поле К 1 такое, что К 1 - неразветвленное расширение К 0 степени п, и все автоморфизмы К 1 над К 0 индуцируются внутренними автоморфизмами тела К.

Лит.:[1] В у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Beйль А., Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972; [3] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [4] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [5] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, .1 изд., М., 1973. Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985